JaimeG & Co.

Hoy en Problemas de lógica, les proponemos un sencillo y divertido problema de Física extraído de una colección de la asociación MENSA, propuesto y resuelto por Josep María Albaigès en febrero de 1991.

Mi empresa ejecuta una obra, de la que se ha completado la excavación. Esta consiste, aproximadamente, en un vaciado de planta cuadrada, con 50 m de lado y 12 m de profundidad. Conversando un día con un arquitecto compañero, se nos ocurrió si la plomada librada a lo largo de uno de los lados de la excavación se desviaría mucho de la vertical como consecuencia del vaciado.

¿Puede calcularlo el amable lector?. Tome la densidad del terreno igual a 2000 kg/m³ y recuerde que el radio de la tierra es 6730 km, y su masa, 6×10²⁴ kg.


La aceleración de la gravedad g vale 9,81 m/s².

g = GM/R² = 9.81 m/s²

siendo G la constante de gravitación universal, M la masa de la Tierra y R su radio.

El peso de un cuerpo en la superficie terrestre es la composición de las atracciones sobre él de todos los átomos de la Tierra, y equivale a la que ejercería la masa de ésta concentrada en su centro. El hueco de la excavación supone introducir en ese conjunto una asimetría substractiva, cuyo resultado neto es lógicamente una repulsión del mismo valor que la atracción gravitatoria que ejercería el volumen de tierras del hueco.

Se puede asimilar también ésta, bastante aproximadamente, a la que ejercería una masa equivalente contentrada en el centro de gravedad de la excavación, o sea:

g' = Gm'/r'²

Donde las respectivas masa y distancia de acción valen:

m' = 50×50×12×2000 = 6×10⁷ kg
r' = (25² + 6²)½ = 25,71 m

El cociente entre ambas fuerzas vale:

g'/g = 6×10⁷×(6,37×10⁶)²/6×10²⁴×(25,71)² = 6,14×10^-7

La componente horizontal de esa fuerza vale:

g'_x/g = 6,14×10^-7 (25/25,71) = 5,97×10^-7

Este es el ángulo que se desviará la plomada de la vertical. En una distancia de 12 metros, equivale a:

x = 12×5,97×10^-7 m = 7,16×10^-6 m = 0,00716 mm

Esta desviación es ciertamente inapreciable, pero no lo sería tanto en el caso de una gran excavación, como las de algunas explotacoines metalúrgicas a cielo abierto en Chile o Sudáfrica, en que algunas de las dimensiones anteriores pueden ser de kilómetros. Para un hueco de 500×500×120 m, la desviación de la plomada en el fondo sería de ¡0,7 mm!, claramente perceptible.